一、定义
连续函数介值定理是指，当函数f（x）在区间[a,b]上连续，而在[a,b]上存在少一点c，使得f（c）=0，则函数f（x）在区间[a,b]上必有根。
二、连续函数的性质
连续函数的性质是指，当函数f（x）在定义域内任意一点处可以取任意接近的值，而且其在定义域内的任意两点处的函数值的差值趋近于0，即：在定义域内连续函数的任意两点处，当x趋近于这两点时，函数值也趋近于这两点处的函数值。
三、连续函数介值定理证明
假设f（x）在[a,b]上连续，f（a）和f（b）的符号相异，证明在[a,b]上存在少一点c，使得f（c）=0。
（1）根据连续性，存在极限：
当x趋近于a时，f（x）趋近于f（a），
当x趋近于b时，f（x）趋近于f（b）
（2）根据极限定理，存在极限：
当x趋近于a时，f（x）趋近于f（a），
当x趋近于b时，f（x）趋近于f（b）
（3）根据对称性，存在极限：
当x趋近于a时，f（x）趋近于f（a），
当x趋近于b时，f（x）趋近于f（b）
（4）根据上述结果，可以证明，当函数f（x）在区间[a,b]上连续，而在[a,b]上存在少一点c，使得f（c）=0，则函数f（x）在区间[a,b]上必有根。
四、连续函数的应用
连续函数介值定理在函数分析中很重要，它主要用于求解不定方程，也有助于我们更好地理解函数的性质。其应用范围很广，如图形分析、复变函数、微积分等。
连续函数介值定理是指，当函数f（x）在区间[a,b]上连续，而在[a,b]上存在少一点c，使得f（c）=0，则函数f（x）在区间[a,b]上必有根。证明了连续函数介值定理，可以用于求解不定方程，也有助于我们更好地理解函数的性质，应用范围很广，如图形分析、复变函数、微积分等。
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